Итак разберёмся по порядку:

1. Материал который указан по умолчанию снят с публикации

Joomla требует, чтобы каждой странице был наначен материал, в том числе и главной. При этом многие шаблоны ориентируются на оформление главной страницы модулями, а не текстом из материала. Если вы по какой-то причине вдруг снимете с публикации материал, будете получать 404 ошибку при открытии главной. Остальные страницы будут при этом работать. Самая частая и неочевидная ошибка, т.к. не связана с ошибками в работе модулей или настройке сервера.

2. Неправильно настроен рерайт URL

Если вы используете собственные правила для nginx проверьте их ещё раз. Мы настоятельно рекомендуем пользоваться официальным руководством по настройке nginx+fastCGi.
В общем случае рекомендуется использовать следующий формат обращения к php-fpm:

location / {
                try_files $uri $uri/ /index.php?$args;
        }

        location ~ \.php$ {
            fastcgi_pass  127.0.0.1:9000;
            fastcgi_index index.php;
            include fastcgi_params;
            fastcgi_param SCRIPT_FILENAME $document_root$fastcgi_script_name;
            include /etc/nginx/fastcgi.conf;
        }

3. Ошибки в конфигурации вебсервера

Если оба вышеуказанных пункта не помогли, предлагаем перенастроить виртуальный хост в соответствии с руководством: Joomla настройка nginx + php-fpm